Точки L и N — середины оснований соответственно BC и AD трапеции ABCD, а точки K и M — середины диагоналей AC и BD соответственно. Известно, что прямые AB и CD перпендикулярны.
а) Докажите, что LN = KM.
б) Найдите высоту трапеции, если площадь четырехугольника KLMN равна 60, а разность оснований трапеции равна 26.
а) Заметим, что отрезок KL — средняя линия треугольника ABC, отрезок LM — средняя линия треугольника ВСD. Отсюда следует, что отрезки KL и MN равны и параллельны. Отсюда KLMN — параллелограмм, отрезок MN — средняя линия треугольника ABD, поэтому прямые MN и AB параллельны, прямые AB и CD перпендикулярны, прямые LM и CD параллельны, то есть прямая LM перпендикулярна прямой MN. Следовательно, четырехугольник KLMN — прямоугольник, поэтому его диагонали равны. Что и требовалось доказать.
б) Пусть боковые стороны трапеции пересекаются в точке E. По свойству медианы прямоугольного треугольника 
Отсюда
Таким образом, площадь прямоугольника KLMN равна 60, а его диагональ равна 13. Тогда по теореме Пифагора получаем, что стороны прямоугольника равны 
Таким образом, высота трапеции равна 
Ответ: б) 