Оче­вид­но при по­лу­че­нии из числа x числа 10x + 1 мы про­сто при­пи­сы­ва­ем в конец числа цифру 1, по­это­му по­сле­до­ва­тель­ность имеет вид 1, 11, 111, ...

а)  За­ме­тим, что a₂₀₂₂ со­сто­ит из 2022 еди­ниц. Зна­чит, во-⁠пер­вых, оно де­лит­ся на 3, так как сумма его цифр, рав­ная 2022, крат­на трем, а во-вто­рых,  — на 11, по­сколь­ку суммы цифр и на чет­ных и на не­чет­ных ме­стах равны 1011. Тогда это число де­лит­ся и на 33.

б)  Все члены по­сле­до­ва­тель­но­сти, кроме пер­во­го, дают оста­ток 3 при де­ле­нии на 4, по­сколь­ку могут быть за­пи­са­ны в виде где y  — число из n − 2 еди­ниц. Пер­вое сла­га­е­мое крат­но 4, а вто­рое дает оста­ток 3. Но квад­рат не может да­вать та­ко­го остат­ка. В самом деле, пусть y² дает оста­ток 3 при де­ле­нии на 4. Оче­вид­но, y не­чет­но. Тогда

За­ме­тим,   — про­из­ве­де­ние двух чет­ных чисел, по­это­му крат­но 4, а −2 не крат­но 4. Итак, не крат­но 4.

в)  За­ме­тим сразу, что по­это­му можно уда­лять из на­ча­ла числа груп­пы по 6 еди­ниц  — они все равно не ока­жут вли­я­ния на оста­ток от де­ле­ния на 7. При этом

По­это­му все остат­ки, кроме остат­ка 3, будут по­лу­че­ны уже для пер­вых шести чле­нов, а оста­ток 3 не будет по­лу­чен ни­ко­гда.

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  0, 1, 2, 4, 5, 6.