а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

На реб­рах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 12 от­ме­че­ны точки P и Q со­от­вет­ствен­но, при­чем DP  =  4, а B₁Q  =  3. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти APQ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15 де­каб­ря 2021 года Антон пла­ни­ру­ет взять кре­дит в раз­ме­ре 700 тысяч руб­лей на по­куп­ку ма­ши­ны. Усло­вия его воз­вра­та, та­ко­вы:

—  1‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 2% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  с 10 числа по 14 число каж­до­го ме­ся­ца, не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга.

На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство ме­ся­цев Антон может взять кре­дит, чтобы каж­дая вы­пла­та не пре­вы­ша­ла 90 тысяч руб­лей?

Сто­ро­на AB квад­ра­та ABCD равна 1 и яв­ля­ет­ся хор­дой не­ко­то­рой окруж­но­сти, при­чем осталь­ные сто­ро­ны квад­ра­та лежат вне этой окруж­но­сти. Длина ка­са­тель­ной CK, про­ве­ден­ной из вер­ши­ны C к этой окруж­но­сти, равна 2.

а)  До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го центр квад­ра­та и центр окруж­но­сти равна длине от­рез­ка CK.

б)  Най­ди­те диа­метр окруж­но­сти.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­рых ровно одно ре­ше­ние (x; y) си­сте­мы урав­не­ний

удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству

Бес­ко­неч­ная по­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел {a_n} за­да­на сле­ду­ю­щим со­от­но­ше­ни­ем: a₁  =  1,

а)  Де­лит­ся ли число a₂₀₂₂ на 33?

б)  Может ли член этой по­сле­до­ва­тель­но­сти a_n при n > 1 быть точ­ным квад­ра­том?

в)  Какие остат­ки при де­ле­нии на 7 могут иметь члены этой по­сле­до­ва­тель­но­сти?