Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 625316
i

В тре­уголь­ни­ке ABC ме­ди­а­ны AA1, BB1 и CC1 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Точки K, L, M при­над­ле­жат от­рез­кам AA1, BB1 и CC1 со­от­вет­ствен­но, при­чем AK  =  KA1, BL : LB1  =  1 : 4, CM : MC1  =  1 : 3. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC равна 200.

а)  До­ка­жи­те, что OL : BB1  =  7 : 15.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По тео­ре­ме о точке пе­ре­се­че­ния ме­ди­а­ны BO:OB_1=2:1, сле­до­ва­тель­но, BO= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби BB_1, BL= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби BB_1. От­сю­да

LO= левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка BB_1= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби BB_1.

б)  Ме­ди­а­ны раз­би­ва­ют тре­уголь­ник на шесть рав­но­ве­ли­ких тре­уголь­ни­ков, сле­до­ва­тель­но, S_ABO=S_BOC=S_AOC. Тогда:

дробь: чис­ли­тель: S_OLK, зна­ме­на­тель: S_AOB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: OL умно­жить на OK, зна­ме­на­тель: OB умно­жить на OA конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \tfrac7, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка \tfrac23 минус \tfrac12 пра­вая круг­лая скоб­ка \tfrac23 умно­жить на \tfrac23= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 40 конец дроби ,

дробь: чис­ли­тель: S_OKM, зна­ме­на­тель: S_AOC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: OK умно­жить на OM, зна­ме­на­тель: OA умно­жить на OC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \tfrac16 умно­жить на \tfrac5, зна­ме­на­тель: 12 конец дроби \tfrac23 умно­жить на \tfrac23= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 32 конец дроби ,

дробь: чис­ли­тель: S_OLM, зна­ме­на­тель: S_BOC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: OL умно­жить на OM, зна­ме­на­тель: OB умно­жить на OC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \tfrac7, зна­ме­на­тель: 15 конец дроби умно­жить на левая круг­лая скоб­ка \tfrac23 минус \tfrac14 пра­вая круг­лая скоб­ка \tfrac23 умно­жить на \tfrac23= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби .

Зна­чит,

S_KLM=S_ABC умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 40 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 32 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 200, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 28 плюс 25 плюс 70, зна­ме­на­тель: 160 конец дроби =51,25.

Ответ: б) 51,25.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 378
Методы геометрии: Метод пло­ща­дей, Свой­ства ме­ди­ан
Классификатор планиметрии: Тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026