Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 627410
i

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C  — тупой, угол B равен 45° и AH  — вы­со­та. Пря­мая AH пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что дуги BC и DA равны.

б)  Най­ди­те BC, если AC  =  8 и пло­щадь тре­уголь­ни­ка BDH равна 9.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Тре­уголь­ник BHA рав­но­бед­рен­ный и пря­мо­уголь­ный, в нем \angle DAB=45 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \overset\smileBD, \angle CBA= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \overset\smileAC, сле­до­ва­тель­но, \overset\smileBD=\overset\smileAC, \overset\smileBC=\overset\smileDA, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Дуги \overset\smileBC и \overset\smileDA равны, зна­чит, BC  =  AD, HC  =  HD. Из усло­вия по­лу­ча­ем, что дробь: чис­ли­тель: BH умно­жить на HD, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =9, HC в квад­ра­те плюс HA в квад­ра­те =8 в квад­ра­те . Пусть BH  =  x, HD  =  y, тогда

си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те =64,xy=18 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x=5 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та ,y=5 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та . конец си­сте­мы .

От­сю­да BC=x минус y=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б) 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 385
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки, Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тре­уголь­ни­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025