а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром, рав­ным 6, на ребре AA₁ взята точка M так, что На ребре D₁C₁ взята точка N так, что

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые MB₁ и CN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до пря­мой CN.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15 ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на сумму 400 тысяч руб­лей на (n + 1) месяц. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  1‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца долг воз­рас­та­ет на 3% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  со 2‐⁠го по 14‐⁠е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  15‐⁠го числа каж­до­го ме­ся­ца с 1‐⁠го по n‐⁠й долг дол­жен быть на 40 тысяч руб­лей мень­ше долга на 15‐⁠е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

—  к 15‐му числу (n + 1)‐го ме­ся­ца кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Най­ди­те n, если к 15‐⁠му числу n‐го ме­ся­ца за пер­вые n ме­ся­цев будет вы­пла­че­но 424,8 ты­ся­чи руб­лей?

В тре­уголь­ни­ке ABC угол C  — тупой, угол B равен 45° и AH  — вы­со­та. Пря­мая AH пе­ре­се­ка­ет опи­сан­ную около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­ность в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что дуги BC и DA равны.

б)  Най­ди­те BC, если AC  =  8 и пло­щадь тре­уголь­ни­ка BDH равна 9.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

имеет един­ствен­ное ре­ше­ние.

Есть жел­тые и белые кар­точ­ки, всего  — 100 штук. На каж­дой на­пи­са­но на­ту­раль­ное число, сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел равно 32. Все числа на жел­тых кар­точ­ках раз­ные. При этом любое число на жел­той кар­точ­ке боль­ше, чем любое число на белой. Все числа на жел­тых кар­точ­ках уве­ли­чи­ли в 3 раза, после чего сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел стало равно 94,6.

а)  Может ли быть ровно 70 жел­тых кар­то­чек?

б)  Могут ли все числа на белых кар­точ­ках быть раз­лич­ны­ми?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство жел­тых кар­то­чек может быть?