Тип 14 № 628367 
Стереометрическая задача. Расстояние от точки до плоскости
i
Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Высота пирамиды проходит через точку D, М — середина бокового ребра SC. Угол между прямыми АМ и ВС равен 60°.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от точки D до плоскости ABS, если сторона основания пирамиды равна 
Решение. 
а) Так как прямые АD и ВС параллельны, угол между скрещивающимися прямыми АМ и ВС равен углу между пересекающимися прямыми АM и AD, то есть углу DAM. Пусть сторона основания пирамиды равна a. Поскольку сторона AD перпендикулярна стороне CD, а высота SD перпендикулярна плоскости ACD, получаем, что сторона AD перпендикулярна прямым CD и SD, то есть плоскости SCD. Следовательно, треугольник AMD — прямоугольный с углом 60°. Получаем, что AM = 2a, 
Гипотенуза SC прямоугольного треугольника CSD в 2 раза больше проведённой к ней медианы DM. Поэтому 
Найдём катет SD этого треугольника:
Следовательно,
б) Из точки D проведём высоту DH треугольника ADS. Прямая АВ перпендикулярна прямым AD и SD, поэтому она перпендикулярна плоскости ADS, а значит, и прямой DH, лежащей в этой плоскости. Из того, что прямая DH перпендикулярна прямым АВ и SA, следует, что прямая DH перпендикулярна плоскости АВS. Поэтому искомое расстояние от точки D до плоскости ABS равно длине отрезка DH. Из прямоугольного треугольника ASD находим, что
Сторона основания пирамиды равна 
поэтому DH = 11.
Ответ: б) 11.
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: б) 11.
