В основании четырехугольной пирамиды PABCD лежит трапеция ABCD c большим основанием AD. Известно, что сумма углов BAD и ADC равна 90°, плоскости PAB и PCD перпендикулярны основанию, прямые AB и CD пересекаются в точке K.
а) Докажите, что плоскость PAB перпендикулярна плоскости PDC.
б) Найдите объем PKBC, если AB = 3, BC = 5, CD = 4, а высота пирамиды PABCD равна 7.
а) Заметим, что PK — линия пересечения плоскостей PAB и PCD,
Заметим, что KD — линия пересечения плоскостей ABC и PCD, и при этом прямые AK и KD перпендикулярны, следовательно, прямая AK перпендикулярна плоскости PCD и, в частности, прямая AK перпендикулярна прямой PK. Аналогично прямые DK и PK перпендикулярны. Таким образом, угол AKD — линейный угол двугранного угла между плоскостями PAB и PCD и, следовательно, плоскости перпендикулярны.
б) Из п. а) следует, что PK — высота пирамид PABCD и PKBC, а в основании пирамиды PKBC лежит прямоугольный треугольник KBC. Заметим, что треугольники KBC и KAD подобны. Пусть коэффициент подобия равен k, BK = x, CK = y, тогда
Поскольку 
тогда
Отсюда x = 3, y = 4. Теперь найдём объём PKBC:
Ответ: б) 14.