ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 629114 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $синус в квадрате x плюс 0,5 синус 2x плюс x в степени левая круглая скобка натуральный логарифм 1 правая круглая скобка =1.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а) Логарифм единицы равен нулю, поэтому последнее слагаемое в левой части уравнения имеет вид $x в степени 0 .$ Это выражение определено при $x не равно 0,$ и для всех таких чисел равно 1. Получаем:

$синус в квадрате x плюс 0,5 синус 2x плюс 1=1 равносильно синус в квадрате x плюс синус x умножить на косинус x=0 равносильно синус x левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= минус косинус x конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k, тангенс x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи l, l принадлежит Z . конец совокупности .$ $синус в квадрате x плюс 0,5 синус 2x плюс 1=1 равносильно синус в квадрате x плюс синус x умножить на косинус x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= минус косинус x конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k, тангенс x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи l, l принадлежит Z . конец совокупности .$ $синус в квадрате x плюс 0,5 синус 2x плюс 1=1 равносильно$
$равносильно синус в квадрате x плюс синус x умножить на косинус x=0 равносильно$
$равносильно синус x левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений синус x=0, синус x= минус косинус x конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= Пи k, тангенс x= минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= Пи k, k принадлежит Z ,x= минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи l, l принадлежит Z . конец совокупности .$

Условию $x не равно 0$ соответствует $k не равно 0.$

б)  Отберем корни при помощи единичной окружности (см. рис). Подходят: $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ,$ $минус Пи ,$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи l; Пи k : l принадлежит Z , k принадлежит Z \backslash левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $минус Пи ;$ $минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 392

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Однородные тригонометрические уравнения

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь