ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Тип 13 № 629114

i

а)  Решите уравнение $синус в квадрате x плюс 0,5 синус 2x плюс x в степени левая круглая скобка натуральный логарифм 1 правая круглая скобка =1.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая квадратная скобка .$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип Д10 C2 № 629115

i

В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 3 и боковое ребро равно 9. Точка M  — середина ребра A₁C₁, точка O  — точка пересечения диагоналей грани ABB₁A₁.

а)  Докажите, что точка пересечения OC₁ с четырехугольником, являющимся сечением призмы плоскостью ABM, совпадает с точкой пересечения диагоналей этого четырехугольника.

б)  Найдите угол между OC₁ и сечением призмы плоскостью ABM.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 15 № 629116

i

Решите неравенство: $логарифм по основанию левая круглая скобка 625x правая круглая скобка 25 умножить на логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 25x правая круглая скобка меньше или равно 2.$

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 16 № 629117

i

Зависимость количества Q (в шт., $0 меньше или равно Q меньше или равно 30000$ ) купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой $Q=30000 минус P.$ Затраты на производство Q единиц товара составляют $5000 Q плюс 3000000$ рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей $левая круглая скобка 0 меньше t меньше 15000 правая круглая скобка$ с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет $PQ минус 5000Q минус 3000000 минус tQ$ рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.

Фирма производит такое количество товара, при котором её прибыль максимальна. При каком значении t общая сумма налогов, собранных государством, будет максимальной?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 17 № 629118

i

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB  =  AE. Отрезок BE пересекает AC в точке M, а отрезок AD в точке N.

а)  Докажите, что точки C, D, M, N лежат на одной окружности.

б)  Точка O  — центр описанной вокруг треугольника CMD окружности. Найдите радиус этой окружности, если AO  =  12, AB  =  4.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 18 № 629119

i

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$a|x плюс 8| плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка |x минус 8| плюс 6=0$

имеет ровно два различных решения.

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

Тип 19 № 629120

i

Для каждого натурального числа n обозначим через a_n максимальный делитель числа n, являющийся квадратом натурального числа, и $b_n= дробь: числитель: n, знаменатель: a_n конец дроби .$

а)  Может ли у числа b_n быть 18 делителей?

б)  Для скольких натуральных чисел n $левая круглая скобка 1 меньше или равно n меньше или равно 1000 правая круглая скобка$ выполняется равенство $a_n=25$ ?

в)  Последняя цифра числа n равна 9. Чему равна сумма последних цифр чисел a_n и b_n?

Решения заданий с развернутым ответом не проверяются автоматически. Запишите решение на бумаге.
На следующей странице вам будет предложено проверить их самостоятельно.

А. Ларин. Тренировочный вариант № 392.