Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 629118
i

Пя­ти­уголь­ник ABCDE впи­сан в окруж­ность. Из­вест­но, что AB  =  AE. От­ре­зок BE пе­ре­се­ка­ет AC в точке M, а от­ре­зок AD в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что точки C, D, M, N лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Точка O  — центр опи­сан­ной во­круг тре­уголь­ни­ка CMD окруж­но­сти. Най­ди­те ра­ди­ус этой окруж­но­сти, если AO  =  12, AB  =  4.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а) Пусть \angle BAC=\lambda и \angle ABE=\angle AEB=\angle ACB= бета . Тогда по тео­ре­ме о внеш­нем угле \angle BMC=\lambda плюс бета и \angle CDN= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \stackrel\smileAC=\lambda плюс бета , зна­чит, \angle CMN плюс \angle CDN=180 гра­ду­сов , сле­до­ва­тель­но, че­ты­рех­уголь­ник CDNM впи­сан в окруж­ность.

б)  Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AMB и ABC по­лу­ча­ем, что AB в квад­ра­те =16=AM умно­жить на AC. За­пи­шем сте­пень точки A от­но­си­тель­но окруж­но­сти, опи­сан­ной около CMD: AO в квад­ра­те минус R в квад­ра­те =AM умно­жить на AC, то есть

12 в квад­ра­те минус R в квад­ра­те =16 рав­но­силь­но R в квад­ра­те =128 \underset R боль­ше 0 \mathop рав­но­силь­но R=8 ко­рень из 2 .

Ответ: б) 8 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 392
Классификатор планиметрии: Окруж­ность, опи­сан­ная во­кург мно­го­уголь­ни­ка, По­до­бие
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025