ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 629119 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$a|x плюс 8| плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка |x минус 8| плюс 6=0$

имеет ровно два различных решения.

Спрятать решение

Решение.

Рассмотрим три случая раскрытия модулей

Случай 1. При $x меньше или равно минус 8$ получаем:

$a левая круглая скобка минус x минус 8 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка минус x плюс 8 правая круглая скобка плюс 6=0 равносильно$
$равносильно минус ax минус 8a минус 2x плюс 16 плюс ax минус 8a плюс 6=0 равносильно 2x плюс 16a=22 равносильно x=11 минус 8a.$ $a левая круглая скобка минус x минус 8 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка минус x плюс 8 правая круглая скобка плюс 6=0 равносильно$
$равносильно минус ax минус 8a минус 2x плюс 16 плюс ax минус 8a плюс 6=0 равносильно$
$равносильно 2x плюс 16a=22 равносильно x=11 минус 8a.$

Число $11 минус 8a$ является корнем исходного уравнения при условии

$11 минус 8a меньше или равно минус 8 равносильно 8a больше или равно 19 равносильно a больше или равно дробь: числитель: 19, знаменатель: 8 конец дроби .$

Случай 2. При $минус 8 меньше x меньше или равно 8$ получаем:

$a левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка минус x плюс 8 правая круглая скобка плюс 6=0 равносильно ax плюс 8a минус 2x плюс 16 плюс ax минус 8a плюс 6=0 равносильно$
$равносильно 2ax минус 2x плюс 22=0 равносильно x левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка = минус 11,$ $a левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка минус x плюс 8 правая круглая скобка плюс 6=0 равносильно$
$равносильно ax плюс 8a минус 2x плюс 16 плюс ax минус 8a плюс 6=0 равносильно$
$равносильно 2ax минус 2x плюс 22=0 равносильно x левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка = минус 11,$

Тогда при $a= 1$ на промежутке $левая круглая скобка минус 8; 8 правая квадратная скобка$ корней нет, а при $a не равно 1$ корнем является число $дробь: числитель: 11, знаменатель: 1 минус a конец дроби ,$ при условии

$минус 8 меньше дробь: числитель: 11, знаменатель: 1 минус a конец дроби меньше или равно 8 равносильно система выражений дробь: числитель: 11, знаменатель: 1 минус a конец дроби плюс 8 больше 0, дробь: числитель: 11, знаменатель: 1 минус a конец дроби минус 8 меньше или равно 0 конец системы . равносильно система выражений дробь: числитель: 19 минус 8a, знаменатель: 1 минус a конец дроби больше 0, дробь: числитель: 3 плюс 8a, знаменатель: 1 минус a конец дроби меньше или равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений a меньше или равно минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби ,a больше дробь: числитель: 19, знаменатель: 8 конец дроби . конец совокупности .$

Случай 3. При $x больше 8$ получаем:

$a левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка плюс 6=0 равносильно ax плюс 8a плюс 2x минус 16 минус ax плюс 8a плюс 6=0 равносильно$
$равносильно 2x плюс 16a=10 равносильно x=5 минус 8a.$ $a левая круглая скобка x плюс 8 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка плюс 6=0 равносильно$
$равносильно ax плюс 8a плюс 2x минус 16 минус ax плюс 8a плюс 6=0 равносильно$
$равносильно 2x плюс 16a=10 равносильно x=5 минус 8a.$

Число $5 минус 8a$ является корнем исходного уравнения при условии

$5 минус 8a больше 8 равносильно 8a меньше минус 3 равносильно a меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби .$

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два различных решения при $a меньше минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби$ или $a больше дробь: числитель: 19, знаменатель: 8 конец дроби .$ Дополнительно отметим, что при $a = минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби$ или $a = дробь: числитель: 19, знаменатель: 8 конец дроби$ уравнение имеет единственное решение, при других значениях параметра уравнение не имеет решений.

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 19, знаменатель: 8 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ	4
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в решении допущена вычислительная ошибка или оно недостаточно обосновано	3
С помощью верного рассуждения получен ответ, но в ходе решения допущена одна ошибка, отличная от вычислительной	2
Получены некоторые верные значения параметра, однако решение содержит более одной ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 392

Классификатор алгебры: Уравнения с параметром

Методы алгебры: Перебор случаев, Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь