В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 3 и боковое ребро равно 9. Точка M — середина ребра A1C1, точка O — точка пересечения диагоналей грани ABB1A1.
а) Докажите, что точка пересечения OC1 с четырехугольником, являющимся сечением призмы плоскостью ABM, совпадает с точкой пересечения диагоналей этого четырехугольника.
б) Найдите угол между OC1 и сечением призмы плоскостью ABM.
а) Пусть N — точки пересечения плоскости ABM с ребром C1B1, тогда отрезок MN параллелен основанию AB и является средней линией треугольника A1B1C1. Таким образом, сечение ABNM — равнобедренная трапеция, где K — точка пересечения ее диагоналей.
Рассмотрим плоскость A1C1B, содержащую прямые OC1 и BM эти прямые не параллельны. Пусть они пересекаются в точке K'. Аналогично, в плоскости B1C1A прямые OC1 и AN пересекаются в точке K''. Но прямая OC1 не лежит в сечении ABMN и может иметь с ним не более одной общей точки, следовательно, точки K' и K'' совпадают и являются точкой пересечения прямых BM и AN, то есть точкой K.
б) Пусть L — середина A1B1, T — точка пересечения MN и С1L. Заметим, что MN и C1L, MN и LO перпендикулярны между собой, следовательно, отрезок MN перпендикулярен плоскости C1LO и плоскости ABM и C1LO — перпендикулярны. Тогда KT — проекция C1K на ABM и угол C1KT — линейный угол искомого угла.
Следовательно,
тогда 
и
отсюда
Значит,
следовательно, 
и 
По теореме Менелая для треугольника A1C1O и прямой BKT имеем:
По теореме косинусов для треугольника C1KT:
Ответ: б) 