Точки A1, B1, C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC.
а) Докажите, что окружности, описанные около треугольников A1CB1, A1BC1, и B1AC1, пересекаются в одной точке.
б) Известно, что АВ = AC = 13 и BC = 10. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершины которого — центры окружностей, описанных около треугольников A1CB1, A1BC1, и В1AC1.
a) Пусть окружности, описанные около треугольников A1BC1 и A1B1C пересекаются в точке E. Тогда 
Отсюда
Значит, четырехугольник 
вписанный. Что и требовалось доказать.
б) Пусть D, G, F — центры трех окружностей из условия задачи. Заметим, что все эти окружности равны, так как они описаны около равных треугольников. Кроме того, из равнобедренности треугольника ABC следует, что A1E — серединный перпендикуляр к BC, откуда получается, что С1E и B1E — серединные перпендикуляры к сторонам AB и AC. Тогда точка E — центр окружности описанной около треугольника ABC и одновременно центр окружности, описанной около DFG. Таким образом, треугольник DFG подобен треугольнику ABC c коэффициентом 
Найдем радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, по формуле S = pr. Имеем: 
p = 18, отсюда 
Значит, радиус окружности, вписанной в DFG равен 
Ответ: б)