а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD бо­ко­вое ребро SA  =  5, а вы­со­та Точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер CD и АВ со­от­вет­ствен­но. Точка  N  — вер­ши­на пи­ра­ми­ды  NSCD, NT  — ее вы­со­та.

а)  До­ка­жи­те, что точка T делит SM по­по­лам.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми NT и SC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ин­ве­сто­ру пред­ла­га­ют­ся два про­ек­та для вло­же­ния де­неж­ных средств. В каж­дом про­ек­те за­ви­си­мость при­бы­ли y (в ты­ся­чах руб­лей) от вло­же­ний x (тыс. руб.) опре­де­ля­ет­ся квад­ра­тич­ной функ­ци­ей с ко­эф­фи­ци­ен­та­ми a и b, за­ви­ся­щи­ми от про­ек­та. Из­вест­но, что при ин­ве­сти­ро­ва­нии средств толь­ко в пер­вый про­ект мак­си­маль­ная при­быль в 200 тыс. руб. до­сти­га­ет­ся при вло­же­нии 100 тыс. руб., а при ин­ве­сти­ро­ва­нии толь­ко во вто­рой про­ект мак­си­маль­ная при­быль в 150 тыс. руб. до­сти­га­ет­ся при вло­же­нии 150 тыс. руб. Ин­ве­стор решил вло­жить 290 тыс. руб­лей в оба про­ек­та. Какую сумму ему сле­ду­ет вло­жить в каж­дый из про­ек­тов, чтобы общая при­быль была мак­си­маль­ной? Най­ди­те эту мак­си­маль­ную общую при­быль.

Точки A₁, B₁, C₁  — се­ре­ди­ны сто­рон со­от­вет­ствен­но BC, AC и AB ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC.

а)  До­ка­жи­те, что окруж­но­сти, опи­сан­ные около тре­уголь­ни­ков A₁CB₁, A₁BC₁, и B₁AC₁, пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

б)  Из­вест­но, что АВ  =  AC  =  13 и BC  =  10. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник, вер­ши­ны ко­то­ро­го  — цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков A₁CB₁, A₁BC₁, и В₁AC₁.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет ре­ше­ния.

Для дей­стви­тель­но­го числа x обо­зна­чим через [x] наи­боль­шее целое число, не пре­вос­хо­дя­щее x. На­при­мер, так как

а)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что ?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое на­ту­раль­ное число n, что ?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных на­ту­раль­ных n, для ко­то­рых ?