Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD образует с основанием угол 45°, сторона основания равна 4. Через среднюю линию треугольника АВD, не пересекающую BD, и середину высоты пирамиды проведена плоскость α.
а) Докажите, что плоскость α перпендикулярна ребру SC.
б) Найдите объем пирамиды SKLM, где K, L и M — точки пересечения α соответственно с ребрами SB, SD и SC.
а) Пусть O — основание высоты, а H — её середина. Точки P и Q — середины рёбер AB и AD соответственно, N — точка пересечения прямых PQ и AC. Заметим, что N — середина OA, следовательно, NH — средняя линия треугольника SOA и, таким образом, прямые NH и SA параллельны. Прямая NH лежит и в плоскости α, и в плоскости SAC, поэтому точка M лежит на прямой NH.
Прямая AC — проекция каждой из прямых SA и SC на плоскость основания пирамиды, следовательно, 
Таким образом, угол ASC прямой, то есть прямые SA и SC взаимно перпендикулярны и, значит, прямые MN и SC взаимно перпендикулярны. Кроме этого, прямые PQ и AC взаимно перпендикулярны, прямые SO и PQ взаимно перпендикулярны. Следовательно, прямая PQ перпендикулярна плоскости α и прямой SC. Таким образом, прямая SC перпендикулярна плоскости α.
б) Из п. а) следует, что SM — высота пирамиды SKLM. Имеем:
Заметим, что прямые KL, PQ и BD параллельны, следовательно, отрезок KL — средняя линия треугольника SBD. Тогда
Следовательно, 
Ответ: б) 