а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем угол 45°, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4. Через сред­нюю линию тре­уголь­ни­ка АВD, не пе­ре­се­ка­ю­щую BD, и се­ре­ди­ну вы­со­ты пи­ра­ми­ды про­ве­де­на плос­кость α.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SC.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды SKLM, где K, L и M  — точки пе­ре­се­че­ния α со­от­вет­ствен­но с реб­ра­ми SB, SD и SC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Паром гру­зо­подъёмно­стью 109 тонн пе­ре­во­зит джипы и гру­зо­ви­ки. Ко­ли­че­ство пе­ре­во­зи­мых на па­ро­ме гру­зо­ви­ков не менее чем на 20% пре­вос­хо­дит ко­ли­че­ство пе­ре­во­зи­мых джи­пов. Вес и сто­и­мость пе­ре­воз­ки од­но­го джипа со­став­ля­ют 3 тонны и 600 руб­лей, гру­зо­ви­ка  — 5 тонн и 700 руб­лей со­от­вет­ствен­но. Опре­де­ли­те наи­боль­шую воз­мож­ную сум­мар­ную сто­и­мость пе­ре­воз­ки всех джи­пов и гру­зо­ви­ков при дан­ных усло­ви­ях.

Сто­ро­ны BC и CD квад­ра­та ABCD яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков BCM и DCN со­от­вет­ствен­но, точки M и N лежат вне квад­ра­та. Пря­мая AM пе­ре­се­ка­ет BC в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что

б)   Най­ди­те KN, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма:

имеет ровно 2 ре­ше­ния.

Для каж­до­го на­ту­раль­но­го числа вве­дем (на­при­мер, ).

а)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное n, если не яв­ля­ет­ся на­ту­раль­ным чис­лом.

б)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное n, если

в)  Най­ди­те наи­боль­шее воз­мож­ное n, если не де­лит­ся на 13.