а)  Оче­вид­но, если то в n! вхо­дят мно­жи­те­ли 2 и 4, по­это­му крат­но 8. С дру­гой сто­ро­ны, что не крат­но 8.

б)  Имеем:

что от­ри­ца­тель­но толь­ко при

в)  Ясно, что при число n! со­дер­жит мно­жи­тель 13, по­это­му ука­зан­ное вы­ра­же­ние крат­но 13. При за­пи­шем вы­ра­же­ние как и будем по­сле­до­ва­тель­но про­ве­рять числа n, мень­шие 13.

Пусть тогда пер­вый мно­жи­тель не кра­тен 13, а вто­рой кра­тен. Дей­стви­тель­но, (знак озна­ча­ет, что у чисел оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 13):

Сле­до­ва­тель­но, раз­ность 12! и 12 при де­ле­нии на 13 дает ну­ле­вой оста­ток, то есть де­лит­ся на 13 на­це­ло.

Про­ве­рим по­сколь­ку 12! дает оста­ток 12 при де­ле­нии на 13, то дает оста­ток 1 при де­ле­нии на 13, а зна­чит, число не будет крат­но 13.

Ответ: а)  3; б)  4; в)  11.

При­ме­ча­ние.

По­ка­зать, что крат­но 13 можно было, со­слав­шись на тео­ре­му Виль­со­на: число де­лит­ся на p тогда и толь­ко тогда, когда p  — про­стое. В нашем слу­чае, число крат­но 13.