ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 629865 Добавить в вариант

Паром грузоподъёмностью 109 тонн перевозит джипы и грузовики. Количество перевозимых на пароме грузовиков не менее чем на 20% превосходит количество перевозимых джипов. Вес и стоимость перевозки одного джипа составляют 3 тонны и 600 рублей, грузовика  — 5 тонн и 700 рублей соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость перевозки всех джипов и грузовиков при данных условиях.

Спрятать решение

Решение.

Пусть паром способен перевозить x джипов и y грузовиков одновременно. Необходимо найти наибольшее возможное значение суммы $S левая круглая скобка x, y правая круглая скобка = 600x плюс 700y,$ зная, что числа x и y натуральные, причем

$система выражений y больше или равно 1,2x, 3x плюс 5y меньше или равно 109 конец системы . равносильно система выражений 5y больше или равно 6x, 5y меньше или равно 109 минус 3x. конец системы .$

Вычтем почленно из первого неравенства системы второе, получим следствие системы:

$0 больше или равно 6x минус 109 плюс 3x равносильно 9x меньше или равно 109 равносильно x меньше или равно целая часть: 12, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 9 .$

Таким образом, x  — натуральное число, не превосходящее 12.

Если $x=12,$ то должно выполняться неравенство $y больше или равно 1,2 x$ или $y больше или равно 14,4.$ Наименьшее натуральное решение y равно 15. Но тогда грузоподъемность парома равна

$3 x плюс 5 y=3 умножить на 12 плюс 5 умножить на 15=36 плюс 75=111,$

а это на 2 превосходит заданную грузоподъемность.

Если $x=11,$ то $y больше или равно 11 умножить на 1,2,$ то есть $y больше или равно 13,2.$ При $y=14$ получаем:

$3 x плюс 5 y=3 умножить на 11 плюс 5 умножить на 14=33 плюс 70=103 меньше 109.$

При $y=15$ получаем:

$3 x плюс 5 y=3 умножить на 11 плюс 5 умножить на 15=33 плюс 75=108 меньше 109.$

Большие значения y не подойдут, поэтому для $x=11$ наибольшее значение суммарной стоимости есть

$S левая круглая скобка 11, 15 правая круглая скобка = 600 умножить на 11 плюс 700 умножить на 15 = 6600 плюс 10 500=17 100 руб.$

Осталось проверить случай $x меньше или равно 10.$ Для таких значений переменной, используя неравенство $3x плюс 5y меньше или равно 109,$ получаем следующую оценку:

$S левая круглая скобка x, y правая круглая скобка = 600x плюс 700y = 140 левая круглая скобка 3x плюс 5y правая круглая скобка плюс 180 x меньше или равно 140 умножить на 109 плюс 180 умножить на 10 = 15 260 плюс 1800 = 17 060,$ $S левая круглая скобка x, y правая круглая скобка = 600x плюс 700y = 140 левая круглая скобка 3x плюс 5y правая круглая скобка плюс 180 x меньше или равно 140 умножить на 109 плюс 180 умножить на 10 =$
$= 15 260 плюс 1800 = 17 060,$ $S левая круглая скобка x, y правая круглая скобка = 600x плюс 700y =$
$= 140 левая круглая скобка 3x плюс 5y правая круглая скобка плюс 180 x меньше или равно 140 умножить на 109 плюс 180 умножить на 10 =$
$= 15 260 плюс 1800 = 17 060,$

что меньше $S левая круглая скобка 11, 15 правая круглая скобка .$ Следовательно, наибольшее возможная стоимость перевозки равна 17 100 руб.

Ответ: 17 100 руб.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 395

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь