Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 629866
i

Сто­ро­ны BC и CD квад­ра­та ABCD яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми рав­но­сто­рон­них тре­уголь­ни­ков BCM и DCN со­от­вет­ствен­но, точки M и N лежат вне квад­ра­та. Пря­мая AM пе­ре­се­ка­ет BC в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что \angle AMC=45 гра­ду­сов .

б)   Най­ди­те KN, если AB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что угол ABM равен 90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =150 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Тре­уголь­ник ABM рав­но­бед­рен­ный, по­это­му углы BAM и BMA равны 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка каж­дый. Таким об­ра­зом, \angle AMC=60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть AB  =  x. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка BKM: \dfracKM синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =\dfracBM синус 105 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка , то есть KM=x умно­жить на \dfrac синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка синус 105 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . Угол  KMN равен 45 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 15 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка . При­ме­ним те­перь тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка DMN:

MN в квад­ра­те =2x в квад­ра­те минус 2x в квад­ра­те умно­жить на ко­си­нус 150 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка =x в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

За­пи­шем тео­ре­му ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка KMN:

KN в квад­ра­те = x в квад­ра­те умно­жить на \dfrac синус в квад­ра­те 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те 105 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2 умно­жить на x умно­жить на \dfrac синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка синус 105 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та =
=x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка \dfrac синус в квад­ра­те 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те 105 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 2\dfrac синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка синус 105 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та умно­жить на \dfrac12 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Най­дем синус 105°:

синус 105 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка = синус левая круг­лая скоб­ка 45 гра­ду­сов плюс 60 гра­ду­сов пра­вая круг­лая скоб­ка = синус 45 гра­ду­сов умно­жить на ко­си­нус 60 гра­ду­сов плюс ко­си­нус 45 гра­ду­сов умно­жить на синус 60 гра­ду­сов = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 }2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби \cdod дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = \dfrac{ ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Ис­поль­зуя по­лу­чен­ную ве­ли­чи­ну, упро­стим вы­ра­же­ние для KN:

KN в квад­ра­те =x в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка \dfrac синус в квад­ра­те 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те 105 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 2\dfrac синус 60 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка синус 105 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та умно­жить на \dfrac12 пра­вая круг­лая скоб­ка =
=x в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка \dfrac32 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: \dfrac3 конец ар­гу­мен­та 2 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =
= x в квад­ра­те умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 8 минус 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 8 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 8 минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =37.

От­сю­да по­лу­ча­ем ответ  — ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: б) ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та .

 

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) Ирины Шраго.

Пусть MC  =  AB  =  x.

По тео­ре­ме си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка MCK:

дробь: чис­ли­тель: CK, зна­ме­на­тель: синус 45 гра­ду­сов конец дроби = дробь: чис­ли­тель: MC, зна­ме­на­тель: синус 75 гра­ду­сов конец дроби рав­но­силь­но CK=MC умно­жить на дробь: чис­ли­тель: синус 45 гра­ду­сов, зна­ме­на­тель: синус 75 гра­ду­сов конец дроби .

За­ме­тим, что

синус 75 гра­ду­сов= синус 45 гра­ду­сов ко­си­нус 30 гра­ду­сов плюс ко­си­нус 45 гра­ду­сов синус 30 гра­ду­сов=
= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 2 левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Тогда CK=MC левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка = x левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка KCN:

KN в квад­ра­те =KC в квад­ра­те плюс CN в квад­ра­те минус 2 \codt KC умно­жить на CN умно­жить на ко­си­нус 150 гра­ду­сов = x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка x левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс 2x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка 8 минус 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка .

Под­ста­вив x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 плюс 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец ар­гу­мен­та , по­лу­чим KN  =  37, от­ку­да KN  =   ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 37 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 395
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма си­ну­сов, Три­го­но­мет­рия в гео­мет­рии
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025