Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 632965
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус 3 x, зна­ме­на­тель: 2 синус x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус x, зна­ме­на­тель: 2 синус x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Урав­не­ние опре­де­ле­но, если

2 синус x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та не равно 0 рав­но­силь­но синус x не равно минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x не равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,x не равно минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, конец си­сте­мы . n при­над­ле­жит Z .

При таких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной зна­ме­на­те­ли дро­бей в левой и пра­вой ча­стях урав­не­ния равны и от­лич­ны от нуля, а зна­чит, долж­ны быть равны чис­ли­те­ли этих дро­бей. Решим урав­не­ние:

ко­си­нус 3x= синус x рав­но­силь­но ко­си­нус 3x минус ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но минус 2 синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на синус левая круг­лая скоб­ка 2x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0, синус левая круг­лая скоб­ка 2x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка =0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = Пи k,2x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

В об­ла­сти опре­де­ле­ния лежат серии кор­ней x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис.). Под­хо­дят: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

При­ме­ча­ние.

Выше мы ре­ши­ли урав­не­ние ко­си­нус 3x= синус x, при­ме­нив фор­му­лу при­ве­де­ния синус x = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка и фор­му­лу раз­но­сти ко­си­ну­сов. Можно было ис­поль­зо­вать усло­вие ра­вен­ства ко­си­ну­сов:

ко­си­нус альфа = ко­си­нус бета рав­но­силь­но альфа = \pm бета плюс 2 Пи k,

от­ку­да в нашем слу­чае по­лу­ча­ем:

ко­си­нус 3x = синус x рав­но­силь­но ко­си­нус 3x = ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 3x = дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 2 минус x плюс 2 Пи k,3x = x минус дробь: чис­ли­тель: зна­ме­на­тель: p конец дроби i 2 плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x= минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 399
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Методы алгебры: До­мно­же­ние на зна­ме­на­тель с учётом ОДЗ, Раз­ло­же­ние на мно­жи­те­ли, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций, Фор­му­лы при­ве­де­ния
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025