Конус и полусфера имеют общее основание, радиус которого относится к высоте конуса как 1 : 3.
а) Докажите, что поверхность полусферы делит образующую конуса в отношении 4 : 1, считая от вершины конуса.
б) Найдите площадь поверхности полусферы, находящейся внутри конуса, если радиус их общего основания равен 5.
а) Пусть точка A — вершина конуса, точка О — центр, а отрезок AB — диаметр основания. Пусть радиус основания равен R. Рассмотрим осевое сечение конуса ABC, точки M и N — точки пересечения прямых AB и AC со сферой соответственно. Тогда AO = 3R и
Заметим, что треугольники BMO и ABC — равнобедренные с общим углом B, следовательно, они подобны. Значит,
откуда 
Таким образом,
б) Пусть высота конуса AO пересекается со сферой в точке К, а с отрезком MN — в точке L. Тогда из подобия треугольников ABC и AMN следует, что
откуда 
а значит, 
Часть сферы, заключенная в конусе, представляет собой шаровой сегмент радиусом R = 5 и высотой h = KL = 2, поэтому 
Ответ: б) 
Другой вариант доказательства пункта а).
1. Обозначим угол OCA за α и выразим через него углы в треугольниках OCN и OAN.
2. Запишем для указанных треугольников теорему синусов.
3. После преобразований можно найти искомое соотношение AN/NC, получим, что tg α = 3.