ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 634242 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $\ctg в степени 4 x= косинус в квадрате 2 x минус 1.$

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 6 Пи ; 8 Пи правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Котангенс определен при $синус x\not= 0.$ Преобразуем уравнение при этом условии:

$\ctg в степени 4 x= косинус в квадрате 2 x минус 1 равносильно \ctg в степени 4 x= минус синус в квадрате 2x равносильно дробь: числитель: косинус в степени 4 x, знаменатель: синус в степени 4 x конец дроби плюс 4 синус в квадрате x косинус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс 4 синус в степени 6 x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус в квадрате x=0, косинус в квадрате x плюс 4 синус в степени 6 x = 0 конец совокупности . равносильно косинус x = 0 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $\ctg в степени 4 x= косинус в квадрате 2 x минус 1 равносильно \ctg в степени 4 x= минус синус в квадрате 2x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: косинус в степени 4 x, знаменатель: синус в степени 4 x конец дроби плюс 4 синус в квадрате x косинус в квадрате x=0 равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс 4 синус в степени 6 x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус в квадрате x=0, косинус в квадрате x плюс 4 синус в степени 6 x = 0 конец совокупности . равносильно косинус x = 0 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $\ctg в степени 4 x= косинус в квадрате 2 x минус 1 равносильно \ctg в степени 4 x= минус синус в квадрате 2x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: косинус в степени 4 x, знаменатель: синус в степени 4 x конец дроби плюс 4 синус в квадрате x косинус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс 4 синус в степени 6 x правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений косинус в квадрате x=0, косинус в квадрате x плюс 4 синус в степени 6 x = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно косинус x = 0 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $\ctg в степени 4 x= косинус в квадрате 2 x минус 1 равносильно \ctg в степени 4 x= минус синус в квадрате 2x равносильно$
$равносильно дробь: числитель: косинус в степени 4 x, знаменатель: синус в степени 4 x конец дроби плюс 4 синус в квадрате x косинус в квадрате x=0 равносильно$
$равносильно косинус в квадрате x левая круглая скобка косинус в квадрате x плюс 4 синус в степени 6 x правая круглая скобка =0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений косинус в квадрате x=0, косинус в квадрате x плюс 4 синус в степени 6 x = 0 конец совокупности . равносильно$
$равносильно косинус x = 0 равносильно x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$

Выше мы воспользовались тем, что сумма $косинус в квадрате x плюс 4 синус в степени 6 x$ не обращается в нуль, поскольку косинус и синус одного угла одновременно в нуль не обращаются.

б)  Отберем корни при помощи двойного неравенства:

$6 Пи меньше или равно дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k\leqslant8 Пи равносильно 6 меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби плюс k\leqslant8 равносильно целая часть: 5, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 меньше или равно k меньше или равно целая часть: 7, дробная часть: числитель: 1, знаменатель: 2 ,$

откуда следует, что k  =  6 или k  =  7. Значения переменной, соответствующие найденным значениям k, суть $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 13 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $дробь: числитель: 15 Пи , знаменатель: 2 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 405

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус

Методы алгебры: Формулы двойного угла

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь