В четырехугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке О под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка О.
а) Докажите, что около четырехугольника АBCD можно описать окружность.
б) Найдите радиус окружности, вписанной в четырехугольник ABCD, если AC = 10 и BD = 26.
а) Заметим, что углы BAO и DCO не равны, так как стороны AB и CD не параллельны. Значит, углы BAC и BDC равны, следовательно, четырехугольник АBCD вписанный.
б) Треугольники AOB и AOD подобны. Пусть 
тогда из вписанности четырехугольника ABCD следует, что 
а значит, 
и 
Пусть теперь 
тогда 
откуда 
и 
В любом случае 
следовательно, в четырехугольник АBCD можно вписать окружность.
Пусть и 
тогда
и 
следовательно, в треугольнике ABC высота BO больше гипотенузы, что невозможно. Таким образом, и 
откуда 
и 
В треугольнике BAD медиана 
из чего следует, что 
и 
тогда
Пусть радиус вписанной окружности равен x, тогда
С другой стороны, 
следовательно,
Ответ: б) 