Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны
а) Пусть центры окружностей — точки O1, O2 и O3, а точки A, B и C — точки касания (см. рис.). Тогда
где R — радиус первой окружности.
б) Пусть D — точка касания третьей окружности и линии центров первых двух окружностей, и пусть 
Отрезки O3D и O1O2 взаимно перпендикулярны, поскольку проведенный в точку касания радиус перпендикулярен касательной. Тогда
следовательно,
Получаем уравнение:
Проверим подстановкой, что найденный корень удовлетворят исходному уравнению:
Таким образом, искомый радиус равен 
Ответ: б)