Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 635740
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние синус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус x плюс 1.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

ИЛИ

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 2024 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =2023.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Раз­ло­жим на мно­жи­те­ли, ис­поль­зуя ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство:

синус x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус в квад­ра­те x плюс ко­си­нус x плюс 1 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка = ко­си­нус в квад­ра­те x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 плюс ко­си­нус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс синус в квад­ра­те x минус 1 =0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка синус x плюс ко­си­нус x плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка =0,

от­ку­да

синус x =1 рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k,k при­над­ле­жит Z .

Урав­не­ние синус x плюс ко­си­нус x плюс 2 = 0 ре­ше­ний не имеет, по­сколь­ку синус и ко­си­нус од­но­го ар­гу­мен­та не об­ра­ща­ют­ся в −1 од­но­вре­мен­но.

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства:

минус Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно 2 Пи рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби \underset k при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но k =0.

Най­ден­но­му зна­че­нию k со­от­вет­ству­ет ко­рень дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

ИЛИ

а)  Ис­поль­зуя ос­нов­ной три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство и из­вле­кая квад­рат­ный ко­рень, по­лу­ча­ем:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус в квад­ра­те x конец ар­гу­мен­та = | синус x|,

от­ку­да по­лу­ча­ем:

2024 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка | синус x| пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =2023.

Раз­бе­рем два слу­чая.

Если синус x боль­ше или равно 0, то

2024 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =2023 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 1 рав­но­силь­но синус x = 0 рав­но­силь­но x= Пи k ,k при­над­ле­жит Z .

Если синус x мень­ше или равно 0, то

2024 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка минус синус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =2023 рав­но­силь­но 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2023 умно­жить на 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка минус 2024= 0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка = 1,3 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка = минус 2024 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но синус x = 0 рав­но­силь­но x= Пи k ,k при­над­ле­жит Z .

Таким об­ра­зом, ре­ше­ни­ем урав­не­ния яв­ля­ют­ся числа x= Пи k ,k при­над­ле­жит Z .

 

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства.

дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно Пи k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

от­ку­да k  =  2 или k  =  3. Таким об­ра­зом, на за­дан­ном от­рез­ке лежат корни 2 Пи и 3 Пи .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) 2 Пи ; 3 Пи .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

ИЛИ

Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 412
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025