а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁, ребро ко­то­ро­го равно 12, точки K и L  — се­ре­ди­ны ребер AD и C₁D₁ со­от­вет­ствен­но, а точка F рас­по­ло­же­на на ребре BC так, что CF  =  3BF.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KLF делит диа­го­наль AC ос­но­ва­ния ABCD в от­но­ше­нии 2 : 3, счи­тая от точки A.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки D₁ до плос­ко­сти KLF.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 4, а бо­ко­вое ребро AA₁ равно На ребре DD₁ от­ме­че­на точка M так, что Плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой A₁F₁ и про­хо­дит через точки M и E.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ плос­ко­стью α  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка F, а ос­но­ва­ни­ем се­че­ние приз­мы ABCDEFAB₁C₁D₁E₁F₁ плос­ко­стью α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2023 года Иван Мо­ро­зов пла­ни­ру­ет взять кре­дит на 8 лет в раз­ме­ре 800 000 руб­лей. Усло­вия воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь с 2024 по 2027 год долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  каж­дый ян­варь с 2028 по 2031 год долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 15% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

—  в июле каж­до­го года долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на июль преды­ду­ще­го года;

—  к июлю 2031 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Опре­де­ли­те r, если общая сумма вы­плат по кре­ди­ту долж­на со­ста­вить 1444 тыс. руб­лей.

Пред­при­я­тие про­из­во­дит дет­ские санки и яв­ля­ет­ся убы­точ­ным. Из­вест­но, что при из­го­тов­ле­нии x санок в месяц рас­хо­ды пред­при­я­тия на вы­пуск одних санок со­став­ля­ют

а цена ре­а­ли­за­ции каж­дой еди­ни­цы про­дук­ции равна   тыс. руб. Опре­де­ли­те еже­ме­сяч­ный объем про­из­вод­ства (в  ты­ся­чах санок), при ко­то­ром еже­ме­сяч­ные убыт­ки могут быть сни­же­ны до наи­мень­ше­го воз­мож­но­го уров­ня.

В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке про­ве­де­ны вы­со­та BH и ме­ди­а­на AM, при­чем точки A, B, Н и М лежат на одной окруж­но­сти.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник ABC рав­но­бед­рен­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC, если и MH  =  3.

На сто­ро­нах остро­го угла с вер­ши­ной О взяты точки А и В. На луче ОВ взята точка M на рас­сто­я­нии 3OA от пря­мой OA, а на луче OA  — точка N на рас­сто­я­нии 3OB от пря­мой ОВ. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка AOB, равен 3.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник АОВ по­до­бен тре­уголь­ни­ку MON.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние:

имеет хотя бы один ко­рень на про­ме­жут­ке [0,5; 4].

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых все ре­ше­ния урав­не­ния:

при­над­ле­жат от­рез­ку [−3; 0].

Ма­ри­на со­став­ля­ет из n чет­ве­рок числа и на­хо­дит все­воз­мож­ные их суммы. На­при­мер, если n  =  4, то воз­мож­ных сумм было бы 5:

а)  Может ли одна из сумм S рав­нять­ся 460, если n  =  25?

б)  Может ли одна из сумм S рав­нять­ся 800, если n  =  25?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет раз­лич­ных зна­че­ний n, для ко­то­рых одна из сумм равна 800?

В ре­зи­ден­ции Деда Мо­ро­за ра­бо­та­ет не менее 60 и не более 80 гно­ми­ков. Дед Мороз про­во­дит со­бра­ние. К на­ча­лу со­бра­ния при­шло мень­ше по­ло­ви­ны гно­ми­ков (а воз­мож­но, что и никто не при­шел). Спу­стя 10 минут после объ­яв­лен­но­го на­ча­ла на со­бра­ние при­шел еще один гно­мик.

а)  Могло ли по­лу­чить­ся так, что после этого на со­бра­нии при­сут­ство­ва­ло боль­ше по­ло­ви­ны гно­ми­ков?

б)  Воз­мож­но ли, что и до и после при­хо­да опоз­дав­ше­го гно­ми­ка про­цент гно­ми­ков на со­бра­нии вы­ра­жал­ся целым чис­лом?

в)  Какое наи­боль­шее целое зна­че­ние мог при­нять про­цент так и не при­шед­ших на со­бра­ние гно­ми­ков?