В остроугольном треугольнике 
проведены высота BH и медиана AM, причем точки A, B, Н и М лежат на одной окружности.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если 
и MH = 3.
ИЛИ
На сторонах острого угла с вершиной О взяты точки А и В. На луче ОВ взята точка M на расстоянии 3OA от прямой OA, а на луче OA — точка N на расстоянии 3OB от прямой ОВ. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 3.
а) Докажите, что треугольник АОВ подобен треугольнику MON.
б) Найдите длину отрезка MN.
а) Если четырехугольник ABMH вписан в окружность, то сторона AB — ее диаметр (поскольку
значит, 
откуда следует, что отрезок AM — медиана и высота, следовательно, 
б) Отрезок MH — медиана прямоугольного треугольника BHC, поэтому 
то есть BC = 6. Пусть 
и 
тогда
откуда 
Следовательно, 
откуда для площади треугольника ABC получаем:
Ответ: б) 
ИЛИ
а) Введем обозначения, как показано на рисунке. Пусть OA = a и OB = b, тогда
и 
Заметим, что
Следовательно, треугольники AOB и MON подобны, что и требовалось доказать.
б) По теореме синусов 
или 
Значит,
откуда
Ответ: б) 18.