ЕГЭ–2026: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 15 № 635751 Добавить в вариант

Решите неравенство: $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80.$

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем неравенство:

$дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 умножить на 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно дробь: числитель: 2 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 40 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 20 равносильно система выражений левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 20,2 в степени x минус 1 не равно 1. конец системы .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 умножить на 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 40 равносильно дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 20 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 20,2 в степени x минус 1 не равно 1. конец системы .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 умножить на 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 40 равносильно дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 20 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 20,2 в степени x минус 1 не равно 1. конец системы .$ $дробь: числитель: логарифм по основанию левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка левая круглая скобка 4 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка плюс 4 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 4 левая круглая скобка 4 в степени x минус 2 умножить на 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 80 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 40 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка 2 конец дроби меньше 20 равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка 1 плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка умножить на логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 20,2 в степени x минус 1 не равно 1. конец системы .$

Пусть $t= логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка ,$ тогда

$система выражений левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка t меньше 20,t не равно 0 конец системы . равносильно система выражений t в квадрате плюс t минус 20 меньше 0,t не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка меньше 0,t не равно 0 конец системы . равносильно система выражений минус 5 меньше t меньше 4,t не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 5 меньше t меньше 0,0 меньше t меньше 4. конец совокупности .$ $система выражений левая круглая скобка 1 плюс t правая круглая скобка t меньше 20,t не равно 0 конец системы . равносильно система выражений t в квадрате плюс t минус 20 меньше 0,t не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений левая круглая скобка t плюс 5 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка меньше 0,t не равно 0 конец системы . равносильно$
$равносильно система выражений минус 5 меньше t меньше 4,t не равно 0 конец системы . равносильно совокупность выражений минус 5 меньше t меньше 0,0 меньше t меньше 4. конец совокупности .$

Вернёмся к исходной переменной:

$совокупность выражений минус 5 меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 0,0 меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка меньше 2 в степени x минус 1 меньше 1,1 меньше 2 в степени x минус 1 меньше 2 в степени 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 33, знаменатель: 32 конец дроби меньше 2 в степени x меньше 2 ,2 меньше 2 в степени x меньше 17 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 33 минус 5 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше логарифм по основанию 2 17. конец совокупности .$ $совокупность выражений минус 5 меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 0,0 меньше логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 2 в степени x минус 1 правая круглая скобка меньше 4 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 2 в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка меньше 2 в степени x минус 1 меньше 1,1 меньше 2 в степени x минус 1 меньше 2 в степени 4 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений дробь: числитель: 33, знаменатель: 32 конец дроби меньше 2 в степени x меньше 2 ,2 меньше 2 в степени x меньше 17 конец совокупности . равносильно совокупность выражений логарифм по основанию 2 33 минус 5 меньше x меньше 1,1 меньше x меньше логарифм по основанию 2 17. конец совокупности .$

Ответ: $левая круглая скобка логарифм по основанию 2 33 минус 5; 1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; логарифм по основанию 2 17 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 412

Классификатор алгебры: Неравенства первой и второй степени относительно показательной функции, Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции, Неравенства смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены, Выделение полного квадрата

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь