ЕГЭ–2025: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 635754 Добавить в вариант

Предприятие производит детские санки и является убыточным. Известно, что при изготовлении x санок в месяц расходы предприятия на выпуск одних санок составляют

$левая круглая скобка дробь: числитель: 168 000, знаменатель: x конец дроби плюс 36 минус \left|12 минус дробь: числитель: 72 000, знаменатель: x конец дроби | правая круглая скобка тыс. руб.,$

а цена реализации каждой единицы продукции равна $72 минус дробь: числитель: 3 x, знаменатель: 1000 конец дроби$   тыс. руб. Определите ежемесячный объем производства (в  тысячах санок), при котором ежемесячные убытки могут быть снижены до наименьшего возможного уровня.

Спрятать решение

Решение.

Пусть ежемесячный объём производства составит 1000y санок. Тогда расходы на их производство составят

$левая круглая скобка дробь: числитель: 168 000, знаменатель: 1000y конец дроби плюс 36 минус \left|12 минус дробь: числитель: 72 000, знаменатель: 1000y конец дроби | правая круглая скобка умножить на 1000y=168 000 плюс 36 000y минус \left|12 000y минус 72 000| тыс. руб.,$ $левая круглая скобка дробь: числитель: 168 000, знаменатель: 1000y конец дроби плюс 36 минус \left|12 минус дробь: числитель: 72 000, знаменатель: 1000y конец дроби | правая круглая скобка умножить на 1000y=168 000 плюс$
$плюс 36 000y минус \left|12 000y минус 72 000| тыс. руб.,$

а выручка от реализации $1000y$ санок составит

$левая круглая скобка 72 минус дробь: числитель: 3 умножить на 1000 y, знаменатель: 1000 конец дроби правая круглая скобка умножить на 1000y=72 000y минус 3000y в квадрате тыс. руб.$

Ежемесячный убыток при этом составит

$168 000 плюс 36 000y минус \left|12 000y минус 72 000| минус левая круглая скобка 72 000y минус 3000y в квадрате правая круглая скобка =$
$=168 000 минус 36 000y плюс 3000y в квадрате минус \left|12 000y минус 72 000|=3000 умножить на левая круглая скобка 56 минус 12y плюс y в квадрате минус |4y минус 24| правая круглая скобка тыс. руб.$ $168 000 плюс 36 000y минус \left|12 000y минус 72 000| минус левая круглая скобка 72 000y минус 3000y в квадрате правая круглая скобка =$
$=168 000 минус 36 000y плюс 3000y в квадрате минус \left|12 000y минус 72 000|=$
$=3000 умножить на левая круглая скобка 56 минус 12y плюс y в квадрате минус |4y минус 24| правая круглая скобка тыс. руб.$

Найдём, при каком положительном значении y выражение $56 минус 12y плюс y в квадрате минус |4y минус 24|$ принимает наименьшее значение.

При $0 меньше y меньше или равно 6$ при раскрытии модуля получаем:

$56 минус 12y плюс y в квадрате плюс 4y минус 24=y в квадрате минус 8y плюс 32=y в квадрате минус 8y плюс 16 плюс 16= левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс 16.$ $56 минус 12y плюс y в квадрате плюс 4y минус 24=y в квадрате минус 8y плюс 32=$
$=y в квадрате минус 8y плюс 16 плюс 16= левая круглая скобка y минус 4 правая круглая скобка в квадрате плюс 16.$

Наименьшее значение этого выражения достигается при $y=4$ и равно 16.

При $y больше или равно 6$ при раскрытии модуля получаем:

$56 минус 12y плюс y в квадрате минус 4y плюс 24=y в квадрате минус 16y плюс 80=y в квадрате минус 16y плюс 64 плюс 16= левая круглая скобка y минус 8 правая круглая скобка в квадрате плюс 16.$ $56 минус 12y плюс y в квадрате минус 4y плюс 24=y в квадрате минус 16y плюс 80=$
$=y в квадрате минус 16y плюс 64 плюс 16= левая круглая скобка y минус 8 правая круглая скобка в квадрате плюс 16.$

Наименьшее значение этого выражения достигается при $y=8$ и равно 16.

Значения выражения $56 минус 12y плюс y в квадрате минус |4y минус 24|$ при $y=4$ и $y=8$ одинаковы, значит, наименьшие ежемесячные убытки могут быть получены в двух случаях, а именно при ежемесячном объёме производства 4000 и 8000 санок, и составят 48 млн руб.

Ответ: 4 или 8.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 412

Классификатор алгебры: Задачи на оптимальный выбор

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь