Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: 4 синус в квад­ра­те x плюс 12 ко­си­нус x минус 9, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: минус 2 тан­генс x конец ар­гу­мен­та конец дроби =0.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3 Пи ; минус Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Дробь равна нулю, если ее чис­ли­тель равен нулю, а зна­ме­на­тель при этом су­ще­ству­ет. Ис­поль­зуя ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство, по­лу­ча­ем:

си­сте­ма вы­ра­же­ний 4 синус в квад­ра­те x плюс 12 ко­си­нус x минус 9 = 0, минус 2 тан­генс x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 4 левая круг­лая скоб­ка 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 12 ко­си­нус x минус 9 = 0, тан­генс x мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 4 ко­си­нус в квад­ра­те x минус 12 ко­си­нус x плюс 5 = 0, тан­генс x мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , ко­си­нус x = дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . тан­генс x мень­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . \underset | ко­си­нус x| мень­ше или равно 1 \mathop рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , тан­генс x мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x = \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n, тан­генс x мень­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие за­дан­но­му от­рез­ку, с по­мо­щью двой­но­го не­ра­вен­ства:

минус 3 Пи мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n мень­ше или равно минус Пи рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно n мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но n = минус 1.

Най­ден­но­му зна­че­нию па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ет ко­рень минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус 2 Пи = минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи n : n при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 417
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус
Методы алгебры: До­мно­же­ние на зна­ме­на­тель с учётом ОДЗ, Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025