В треугольнике KLM на продолжении стороны KL за точку L взята точка D, точка N лежит на пересечении биссектрисы угла MLD и прямой KM. Отрезки KC и NP — биссектрисы треугольника KLN, 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника LMC, если KL = 10 и ML = 5.
а) Точка C лежит на биссектрисе угла LKM, а потому равноудалена от прямых KM и KL. Кроме того, она равноудалена от прямых KL и LM. Значит, она равноудалена от прямых KM и LM, то есть MC — биссектриса угла LMN. По условию
поэтому
Значит, MP — биссектриса угла LMK. Тогда точка P равноудалена от прямых NM, ML и LN. Таким образом, углы PLM, MLC и CLD равны. В сумме эти три угла дают развернутый угол, поэтому 
Что и требовалось доказать.
б) По теореме косинусов
Заметим, что 
тогда 
и 
Следовательно, треугольник KLN равнобедренный, а отрезок LM — его высота и биссектриса. По доказанному ранее отрезок MC — биссектриса треугольника LMN, поэтому
Отсюда
Тогда площадь треугольника CML равна
Ответ: б) 