Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 637858
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a из от­рез­ка левая квад­рат­ная скоб­ка 0; 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс 2 z левая круг­лая скоб­ка x плюс y плюс z пра­вая круг­лая скоб­ка минус синус a=0, левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс y в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та плюс a в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: z конец ар­гу­мен­та плюс синус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a=0 конец си­сте­мы .

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При 0 мень­ше или равно a мень­ше или равно 2 Пи спра­вед­ли­вы не­ра­вен­ства

x боль­ше или равно 0, x синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно 0, y в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно 0, a в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: z конец ар­гу­мен­та боль­ше или равно 0, 0 мень­ше или равно синус дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно 1.

При­ме­няя в левой части вто­ро­го урав­не­ния ис­ход­ной си­сте­мы фор­му­лу си­ну­са трой­но­го угла, по­лу­ча­ем:

x синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс y в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x конец ар­гу­мен­та плюс a в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: z конец ар­гу­мен­та плюс синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс синус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби a боль­ше или равно синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс
плюс 3 синус дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 4 синус в кубе дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = минус 4 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на синус дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно 0.

Не­ра­вен­ство об­ра­ща­ет­ся в ра­вен­ство, лишь если синус дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =1 или синус дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =0, то есть при a = левая фи­гур­ная скоб­ка 0; Пи ; 2 Пи пра­вая фи­гур­ная скоб­ка .

Вы­де­ляя в пер­вом урав­не­нии ис­ход­ной си­сте­мы пол­ные квад­ра­ты, по­лу­ча­ем:

си­сте­ма вы­ра­же­ний левая круг­лая скоб­ка x плюс z пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс z пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те = синус a, a при­над­ле­жит левая фи­гур­ная скоб­ка 0; Пи ; 2 Пи пра­вая фи­гур­ная скоб­ка . конец си­сте­мы .

Для най­ден­ных зна­че­ний па­ра­мет­ра синус a = 0, по­это­му оба урав­не­ния си­сте­мы вы­пол­ня­ют­ся, на­при­мер, при x=y=z=0.

 

Ответ: 0, π, 2π.

 

При­ме­ча­ние.

Это за­да­ние впер­вые было пред­ло­же­но для по­сту­па­ю­щих на ме­ха­ни­ко-ма­те­ма­ти­че­ский фа­куль­тет МГУ им. М. В. Ло­мо­но­со­ва в 1995 году.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 417
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы для трой­ных углов, Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025