В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,2. Вероятность события «К вечеру в втором автомате закончится кофе» равна 0,6. Считая эти события независимыми, найдите математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе.
Пусть X — дискретная случайная величина, равная числу автоматов, в которых к вечеру закончится кофе. Она может принимать 3 значения: 0, если кофе останется в обоих автоматах, 1 (кофе останется ровно в одном автомате) или 2, если кофе кончится в обоих автоматах. Найдем вероятности этих событий.
Вероятность того, что кофе кончится в обоих автоматах, в силу независимости этих событий равна
P(X = 2) = 0,2 · 0,6 = 0,12.
В первом автомате кофе останется с вероятностью 0,8, а во втором — с вероятностью 0,4. Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна
P(X = 0) = 0,8 · 0,4 = 0,32.
Вероятность того, что кофе останется ровно в одном автомате, равна
P(X = 1) = 1 − 0,12 − 0,32 = 0,56.
Построим закон распределения Х:
| Значения X | 0 | 1 | 2 |
| Вероятности pi | 0,32 | 0,56 | 0,12 |
Математическое ожидание E случайной дискретной величины X, которая может принимать три значения, равно
Ответ: 0,8.
Примечание.
Величину P(X = 1) можно было найти непосредственным вычислением. Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 0,8 · 0,6 = 0,48. Вероятность того, что кофе кончится в первом автомате, но останется во втором равна 0,2 · 0,4 = 0,08. Эти события несовместные, поэтому ровно в одном автомате кофе закончится с вероятностью
P(X = 1) = 0,48 + 0,08 = 0,56.