В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов происходит по вечерам после закрытия центра. Вероятность события «К вечеру в первом автомате закончится кофе» равна 0,8. Вероятность события «К вечеру в втором автомате закончится кофе» равна 0,3. Считая эти события независимыми, найдите математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру останется кофе.
Пусть X — дискретная случайная величина, равная числу автоматов, в которых к вечеру останется кофе. Она может принимать 3 значения: 0, если кофе закончится в обоих автоматах, 1, если кофе останется ровно в одном автомате или 2, если кофе останется в обоих автоматах. Найдем вероятности этих событий.
Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, в силу независимости этих событий равна
P(X = 0) = 0,8 · 0,3 = 0,24.
В первом автомате кофе останется с вероятностью 0,2, а во втором — с вероятностью 0,7. Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна
P(X = 2) = 0,2 · 0,7 = 0,14.
Вероятность того, что кофе останется хотя бы в одном автомате, равна
P(X = 1) = 1 − 0,24 − 0,14 = 0,62.
Построим закон распределения Х:
| Значения X | 0 | 1 | 2 |
| Вероятности pi | 0,24 | 0,62 | 0,14 |
Математическое ожидание E случайной дискретной величины X, которая может принимать три значения, равно
Ответ: 0,9.
Примечание.
Величину P(X = 1) можно было найти непосредственным вычислением. Вероятность того, что кофе останется в первом автомате, но закончится во втором, равна 0,8 · 0,7 = 0,56. Вероятность того, что кофе закончится в первом автомате, но останется во втором равна 0,2 · 0,3 = 0,06. Эти события несовместные, поэтому ровно в одном автомате кофе закончится с вероятностью
P(X = 1) = 0,56 + 0,06 = 0,62.