Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 639337
i

В тра­пе­ции ABCD c ос­но­ва­ни­ем AD диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, а AD  =  2BC. Через вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная диа­го­на­ли BD, через вер­ши­ну D про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная диа­го­на­ли AC. Эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что BO : AE =1: 2.

б)  Пря­мые BE и CE пе­ре­се­ка­ют сто­ро­ну AD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те MN, если AD  =  20.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  По по­стро­е­нию че­ты­рех­уголь­ник AODE  — па­рал­ле­ло­грамм. Зна­чит, OD  =  AE. Тре­уголь­ни­ки BOC и DOA по­доб­ны, зна­чит,

BO : OD = BC : AD = 1 : 2.

Тогда

BO : AE = BO : OD = 1: 2.

б)  Пря­мые AE и BD па­рал­лель­ны, а по­то­му тре­уголь­ник AME по­до­бен тре­уголь­ни­ку DMB. Тогда

AM : MD = AE : BD = AE : левая круг­лая скоб­ка BO плюс AE пра­вая круг­лая скоб­ка =1: левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: BO, зна­ме­на­тель: AE конец дроби плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =2 : 3.

Сле­до­ва­тель­но, AM= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби AD = 8. Ана­ло­гич­но ND  =  8. Зна­чит, MN=20 минус 8 минус 8=4.

 

Ответ: 4.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 423
Классификатор планиметрии: Мно­го­уголь­ни­ки и их свой­ства, По­до­бие
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025