а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит тра­пе­ция с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD. Диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. Точки M и L  — се­ре­ди­ны бо­ко­вых сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через точки M и L па­рал­лель­но пря­мой SO.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α, если AD  =  6, BC  =  5, SO  =  5, а пря­мая SO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

При на­ло­ге, рав­ном t руб­лей за еди­ни­цу то­ва­ра, объём про­из­вод­ства то­ва­ра со­став­ля­ет 12 000 − 2t еди­ниц, если это число по­ло­жи­тель­но, и 0 еди­ниц иначе. Про­из­вод­ство не­ко­то­ро­го то­ва­ра об­ла­га­лось на­ло­гом в раз­ме­ре t₀ руб­лей за еди­ни­цу то­ва­ра. После того как го­су­дар­ство, стре­мясь уве­ли­чить сумму на­ло­го­вых по­ступ­ле­ний, уве­ли­чи­ло налог на 60% (до ве­ли­чи­ны 1,6t₀), сумма на­ло­го­вых по­ступ­ле­ний не из­ме­ни­лась. На сколь­ко про­цен­тов го­су­дар­ству сле­ду­ет из­ме­нить налог после этого, чтобы до­бить­ся мак­си­маль­ных на­ло­го­вых сбо­ров?

В тра­пе­ции ABCD c ос­но­ва­ни­ем AD диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O, а AD  =  2BC. Через вер­ши­ну A про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная диа­го­на­ли BD, через вер­ши­ну D про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная диа­го­на­ли AC. Эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Пря­мые BE и CE пе­ре­се­ка­ют сто­ро­ну AD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те MN, если AD  =  20.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых си­сте­ма

имеет хотя бы одно ре­ше­ние.

Обо­зна­чим через a_n ко­ли­че­ство n-знач­ных чисел (n > 1), в за­пи­си ко­то­рых есть хотя бы одна цифра 0.

а)  Какой циф­рой окан­чи­ва­ет­ся число a_n?

б)  При каких зна­че­ни­ях n число a_n за­кан­чи­ва­ет­ся двумя де­вят­ка­ми?

в)  Может ли сумма де­ли­те­лей числа a_n при де­ле­нии на 13 иметь в остат­ке 7?