Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.
а) Может ли Егор за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см?
б) Может ли Егор за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см?
в) За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в 300 см на части по 1 см?
а) Да. Первым ходом Егор отрежет от линейки 8 см и получит две линейки по 8 см. Вторым ходом отрежет ото всех линеек 4 см и получит четыре линейки по 4 см. Третьим отрежет по 2 см и получит 8 линеек по 2 см. Последним, четвертым, ходом он отрежет по 1 см и получит 16 частей по 1 см.
б) Нет. За один ход Егор делит некоторое количество своих частей на две, поэтому каждым ходом общее количество частей увеличивается не более, чем в 2 раза. Следовательно, за 5 ходов Егор получит не более 32 частей, а необходимо получить 100 частей.
в) За восемь ходов Егор получит не более 256 частей, а необходимо получить 300 частей, поэтому восьми ходов не хватит. Покажем, как Егор может разделить линейку за девять ходов. Каждым ходом, кроме последнего, Егор отрезает указанную часть от всех имеющихся у него линеек. Последним ходом Егор отрезает 1 см только от линеек, длина которых больше одного сантиметра.
| Ход | Было линеек | Отрезано | Стало линеек |
|---|---|---|---|
| 1 | 300 см | 150 см | 2 по 150 см |
| 2 | 2 по 150 см | 75 см | 4 по 75 см |
| 3 | 4 по 75 см | 37 см | 4 по 37 см и 4 по 38 см |
| 4 | 4 по 37 см и 4 по 38 см | 19 см | 12 по 19 см и 4 по 18 см |
| 5 | 12 по 19 см и 4 по 18 см | 9 см | 20 по 9 см и 12 по 10 см |
| 6 | 20 по 9 см и 12 по 10 см | 5 см | 44 по 5 см и 20 по 4 см |
| 7 | 44 по 5 см и 20 по 4 см | 2 см | 84 по 2 см и 44 по 3 см |
| 8 | 84 по 2 см и 44 по 3 см | 1 см | 212 по 1 см и 44 по 2 см |
| 9 | 212 по 1 см и 44 по 2 см | 1 см | 300 по 1 см |
Ответ: а) да, может; б) нет, не может; в) за 9 ходов.