Деревянную линейку, длина которой выражается целым числом сантиметров, разрезают на куски. За один ход можно взять один или несколько кусков линейки, положить их друг на друга и разрезать каждый из них на две части, длины которых выражаются целым числом сантиметров.
а) Можно ли за четыре хода разрезать линейку длиной 16 см на куски длиной 1 см?
б) Можно ли за пять ходов разрезать линейку длиной 100 см на куски длиной 1 см?
в) Какое наименьшее число ходов нужно сделать, чтобы разрезать линейку длиной 200 см на куски длиной 1 см?
а) Да. Первым ходом от линейки можно отрезать 8 см и получить две линейки по 8 см. Вторым ходом можно отрезать ото всех линеек 4 см и получить четыре линейки по 4 см. Третьим можно отрезать по 2 см и получить 8 линеек по 2 см. Последним, четвертым, ходом можно отрезать по 1 см и получить 16 частей по 1 см.
б) Нет. За один ход можно разделить некоторое количество частей на две, поэтому с каждым ходом общее количество частей увеличивается не более, чем в 2 раза. Следовательно, за 5 ходов можно получить не более 32 частей, а необходимо получить 100 частей.
в) За семь ходов можно получить не более 128 частей, а необходимо получить 200 частей, поэтому семи ходов не хватит. Покажем, как можно разделить линейку за восемь ходов. Каждым ходом, кроме последнего, будем отрезать указанную часть от всех имеющихся линеек. Последним ходом отрежем 1 см только от линеек, длина которых больше одного сантиметра.
| Ход | Было линеек | Отрезано | Стало линеек |
|---|---|---|---|
| 1. | 200 см | 100 см | 2 по 100 см |
| 2. | 2 по 100 см | 50 см | 4 по 50 см |
| 3. | 4 по 50 см | 25 см | 8 по 25 см |
| 4. | 8 по 25 см | 12 см | 8 по 12 см и 8 по 13 см |
| 5. | 8 по 12 см и 8 по 13 см | 6 см | 24 по 6 см и 8 по 7 см |
| 6. | 24 по 6 см и 8 по 7 см | 3 см | 56 по 3 см и 8 по 4 см |
| 7. | 56 по 3 см и 8 по 4 см | 2 см | 56 по 1 см и 72 по 2 см |
| 8. | 56 по 1 см и 72 по 2 см | 1 см | 200 по 1 см |
Ответ: а) да, может; б) нет, не может; в) за 8 ходов.