Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 639768
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­си­нус 4 x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

ко­си­нус 4 x плюс дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x рав­но­силь­но ко­си­нус 4 x = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус x минус дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но ко­си­нус 4 x = минус ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 4x = Пи \pm левая круг­лая скоб­ка x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 Пи k рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 3x = дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, 5x = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , x = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­ных не­ра­венств:

0 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно Пи рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно 4 плюс 6k мень­ше или равно 9 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,

от­ку­да k  =  0, сле­до­ва­тель­но, x = дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби . Далее,

0 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно Пи рав­но­силь­но 0 мень­ше или равно 2 плюс 6k мень­ше или равно 15 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

от­ку­да k = 0, k = 1 или k = 2. Най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ют корни дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: 14 Пи , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи k, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 14 Пи , зна­ме­на­тель: 15 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 424
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, сво­ди­мые к целым на синус или ко­си­нус
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025