Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, K — точка касания окружности со стороной AB.
а) Докажите, что 
б) Найдите отношение меньшего основания трапеции к большему, если известно, что AB = CD, а площадь четырехугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами трапеции составляет 
площади трапеции ABCD.
а) Центр вписанной в четырехугольник окружности лежит на пересечении его биссектрис. Поэтому
и 
Следовательно,
а значит, треугольник AOB прямоугольный. Пусть отрезок OK — его высота, тогда 
Запишем площадь треугольника AOB двумя способами:
откуда 
Что и требовалось доказать.
б) Пусть точки касания окружности со сторонами BC, CD и DA это точки L, M и N соответственно. Пусть также 
и 
Обозначим P — точку пересечения отрезков KM и LN, и проведем BH — высоту трапеции. Тогда треугольники ABH и OKP подобны по двум углам, откуда 
Значит,
Находим:
откуда
Ответ: б) 