Окружность с центром O вписана в треугольник ABC. Касательная к окружности пересекает стороны AC и BC в точках
а) Докажите, что сумма углов AOD и BOE равна 180°.
б) Найдите DE, если AC = BC, радиус окружности равен 3, 
а разность углов AOD и BOE равна 60°.
а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому AO и BO — биссектрисы углов A и B треугольника ABC, а DO и EO — биссектрисы внешних углов при вершинах D и E треугольника DEC. Тогда
и 
Следовательно,
б) Пусть вписанная окружность радиусом 3 касается боковых сторон AC и BC в точках M и N соответственно, а отрезка DE — в точке K. По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки, DK = DM и KE = EN, откуда следует, что DE = DK + KE = DM + EN. Из условия 
и доказанного равенства в пункте а) 
получаем: 
и 
Поскольку AC = BC, углы OAD и OBE равны как половины углов при основании равнобедренного треугольника ABC. Обозначим 
тогда 
и 
В прямоугольном треугольнике DOM известно, что OM = 3. Следовательно,
Аналогично в прямоугольном треугольнике EON
Получаем:
Ответ: б) 