Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 15 № 640015
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство: ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 x плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 1,5, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пе­рей­дем к ос­но­ва­нию 0,5, по­лу­чим:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 x плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 1,5, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби .

Левая часть не­ра­вен­ства опре­де­ле­на при x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби . Для таких зна­че­ний пе­ре­мен­ной зна­ме­на­тель дроби в пра­вой части не­ра­вен­ства при­ни­ма­ет толь­ко по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния, а зна­чит, и чис­ли­тель дол­жен быть по­ло­жи­тель­ным. При­ме­ним фор­му­лу ло­га­риф­ма част­но­го, по­лу­чим рав­но­силь­ное не­ра­вен­ство:

си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 x плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 1,5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка , x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 x плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 1,5 пра­вая круг­лая скоб­ка ,x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний дробь: чис­ли­тель: 2 x плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x в квад­ра­те минус x минус 1,5 ,x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус 2x минус 3 боль­ше или равно 0,x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 1,x боль­ше или равно 3, конец си­сте­мы . x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше или равно минус 1,x боль­ше или равно 3. конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

При­ме­ча­ние.

Чи­та­тель, много ре­шав­ший ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства, знает, что при z боль­ше 0 спра­вед­ли­ва рав­но­силь­ность

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a x боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a дробь: чис­ли­тель: y, зна­ме­на­тель: z конец дроби рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a x боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a y минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a z.

Для a боль­ше 1 это сле­ду­ет из того, ис­ход­ное не­ра­вен­ство при усло­вии z боль­ше 0 и не­ра­вен­ство ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a x боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a y минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию a z рав­но­силь­ны «ито­го­вой» си­сте­ме

си­сте­ма вы­ра­же­ний z боль­ше 0, y боль­ше 0, xz боль­ше y, конец си­сте­мы .

а по­то­му рав­но­силь­ны между собой. Ана­ло­гич­но при 0 мень­ше a мень­ше 1: ис­ход­ное не­ра­вен­ство при усло­вии z боль­ше 0 и по­лу­чен­ное из него не­ра­вен­ство рав­но­силь­ны си­сте­ме

си­сте­ма вы­ра­же­ний x боль­ше 0, z боль­ше 0, xz мень­ше y. конец си­сте­мы .

Ис­поль­зуя этот факт, ре­ше­ние можно за­пи­сать иначе:

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 x плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию 2 левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: x в квад­ра­те минус x минус 1,5, зна­ме­на­тель: x плюс 3 конец дроби рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 x плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 1,5 пра­вая круг­лая скоб­ка минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 3 пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 x плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби боль­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 0,5 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус x минус 1,5 пра­вая круг­лая скоб­ка ,x плюс 3 боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 0 мень­ше дробь: чис­ли­тель: 2 x плюс 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше или равно x в квад­ра­те минус x минус 1,5 ,x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний x в квад­ра­те минус 2x минус 3 боль­ше или равно 0,x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x мень­ше или равно минус 1,x боль­ше или равно 3, конец си­сте­мы . x боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше или равно минус 1,x боль­ше или равно 3. конец со­во­куп­но­сти .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус 1 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 3; плюс бес­ко­неч­ность пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Обос­но­ван­но по­лу­чен ответ, от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го ис­клю­че­ни­ем точек,

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 425
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа, Ло­га­риф­ми­че­ские не­ра­вен­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025