Бесконечная геометрическая прогрессия b1, b2, ..., bn, ... состоит из различных натуральных чисел. Пусть S1 = b1 и Sn = b1 + b2 + ... + bn при всех натуральных 
а) Существует ли такая прогрессия, среди чисел S1, S2, S3, S4 которой ровно два числа делятся на 40?
б) Существует ли такая прогрессия, среди чисел S1, S2, S3, S4 которой ровно три числа делятся на 40?
в) Какое наибольшее количество чисел среди S1, S2, ..., S8 может делиться на 40, если известно, что S1 на 40 не делится?
а) Например 20, 60, 180, 540. Только S2 и S4 кратны 40.
б) Поскольку прогрессия бесконечная, то ее знаменатель — натуральное число. Если первый член прогрессии кратен 40, то и все остальные тоже, поэтому и все суммы кратны 40. Допустим теперь, что b не кратно 40, но b + bq, 
кратны. Тогда bq2 кратно 40. При этом bq не кратно 40, иначе b + bq не могло бы быть ему кратно. Значит, q четно. Тогда и b четно (ведь b + bq четно). Тогда bq кратно 4 (произведение двух четных чисел), а тогда и b кратно 4 (ведь b + bq кратно 4). Но тогда ситуация bq2 кратно 40, bq не кратно 40 невозможна — оба числа кратны 8 и либо оба кратны пяти, либо оба не кратны пяти.
в) Продолжая прогрессию из п. а), получим пример для четырех чисел. Попробуем доказать, что больше сделать нельзя. Допустим, таких сумм минимум пять. Тогда среди них есть две с соседними номерами, Значит, их разность — один из членов прогрессии — делится на 40.
Рассмотрим, как устроены все члены прогрессии, кратные пяти. Степень пятерки во всех членах прогрессии растет при увеличении номера на одну и ту же величину, или убывает на одну и ту же величину (для бесконечной прогрессии это на самом деле невозможно), или остается неизменной. Значит, либо ни один из членов прогрессии не кратен пяти (а тогда и 40), либо пяти кратны все члены прогрессии, кроме может быть первого или последнего. Если все, кроме первого — ни одна из сумм не будет кратна пяти. Если все, кроме последнего — умножим все члены прогрессии на 5, от этого суммы не перестанут делиться на 40, первый член не начнет делиться на 40 (он и так был кратен пяти). Итак, можно считать, что все члены прогрессии кратны пяти. Тогда поделим их все на 5 и будем изучать делимость Si на 8.
Рассуждая аналогично про делимость на степени двойки, придем либо к ответу 4, либо к возможности сократить все на 2 и изучению делимости на 4. Затем — к изучению делимости на 2. Для нее уже вариантов, дающих больше четырех сумм, не останется — либо все члены прогрессии имеют одинаковую четность (и, значит, нечетны и там 4 суммы), либо все четны, кроме первого (тогда четных сумм нет).
Ответ: а) 30, 60, 180, 540;