Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектрисы углов BAD и BCD пересекаются в точке O. Через точку O проведена прямая, параллельная основаниям трапеции и пересекающая ее боковые стороны.
а) Докажите, что длина отрезка этой прямой с концами на боковых сторонах трапеции, равна ее боковой стороне.
6) Найдите отношение длин оснований трапеции, если 
и данная прямая делит AB в отношении 
а) Пусть прямая, проходящая через точку O параллельно BC пересекает прямую AB в точке M и прямую CD в точке F. Углы MOA и OAD равны как накрест лежащие, следовательно, угол MAO равен углу MOA, тогда AM = MO. Аналогично углы BCO и COF равны, следовательно, OF = CF. Заметим, что AMFD — равнобокая трапеция, следовательно, AM = FD, тогда
б) Пусть AM = 2x, BM = 3x, угол AMO равен α, тогда 
Для треугольников AMO и CFO по теореме косинусов:
Учитывая, что по условию AO = OC, получаем
Отсюда 
Имеем:
отсюда
Выразим длину AD:
Найдем отношение BC к AD:
Ответ: 