Точка В лежит на от­рез­ке АС. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром BC в точке M и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром АВ в точке К. Про­дол­же­ние от­рез­ка МВ пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром AB в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и МC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка DBC, если AK  =  7 и MK  =  14.

Точка В лежит на от­рез­ке АС. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, ка­са­ет­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром BC в точке M и вто­рой раз пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром АВ в точке K. Про­дол­же­ние от­рез­ка МВ пе­ре­се­ка­ет окруж­ность с диа­мет­ром AB в точке D.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и МC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка DBC, если AK  =  5 и KM  =  25.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 10, а BC  =  16.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке A, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда BC боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке P. Хорды AB и AC пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые KM и BC па­рал­лель­ны.

б)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков KM и AP. Най­ди­те длину от­рез­ка AL, если ра­ди­ус боль­шей окруж­но­сти равен 34, а BC  =  32.

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке K, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда MN боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке C. Хорды KM и KN пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках A и B со­от­вет­ствен­но, а от­рез­ки KC и AB пе­ре­се­ка­ют­ся в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те MN, если а ра­ди­ус малой окруж­но­сти равен

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом в точке K, причём мень­шая про­хо­дит через центр боль­шей. Хорда MN боль­шей окруж­но­сти ка­са­ет­ся мень­шей в точке C. Хорды KM и KN пе­ре­се­ка­ют мень­шую окруж­ность в точ­ках A и B со­от­вет­ствен­но, а от­рез­ки KC и AB пе­ре­се­ка­ют­ся в точке L.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину хорды MN, если a ра­ди­ус мень­шей окруж­но­сти равен

Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC переcекает сто­ро­ну AC в точке D. Окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ADB, ка­са­ет­ся от­рез­ка AD в точке P, а пря­мая OP пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка BDOK можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка BDOK, если AB  =  10, AC  =  9.

Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC переcекает сто­ро­ну AC в точке D. Окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ADB, ка­са­ет­ся от­рез­ка AD в точке P, а пря­мая OP пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка BDOK можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка BDOK, если AB  =  8, AC  =  7.

Окруж­ность ка­са­ет­ся одной из сто­рон пря­мо­го угла с вер­ши­ной D в точке E и пе­ре­се­ка­ет вто­рую сто­ро­ну в точ­ках A и B (точка A лежит между B и D). В окруж­но­сти про­ведён диа­метр AC.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок BC вдвое боль­ше от­рез­ка DE.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки E до пря­мой AC, если AD  =  4 и AB  =  5.

На сто­ро­не AC рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка ABC взяли точку M. Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к BM пе­ре­се­ка­ет AB и BC в точ­ках E и K со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что углы AEM и KMC равны.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AEM и MKC, если

Тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний. На сто­ро­не AC вы­бра­на точка M, се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку BM пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке E, а сто­ро­ну BC в точке K.

а)  До­ка­зать что угол AEM равен углу CMK.

б)  Найти от­но­ше­ние пло­ща­дей тре­уголь­ни­ков AEM и CMK, если

Дан ромб ABCD. Пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная сто­ро­не AD, пе­ре­се­ка­ет его диа­го­наль AC в точке M, диа­го­наль BD  — в точке N, при­чем AM : MC  =  1 : 2, BN : ND  =  1 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь ромба, если MN  =  5.

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC. Бис­сек­три­сы углов BAD и BCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Точки M и N от­ме­че­ны на бо­ко­вых сто­ро­нах AB и CD со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что точки M, N и O лежат на одной пря­мой.

6)  Най­ди­те если из­вест­но, что и

Бис­сек­три­са АМ остро­го угла А рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD делит бо­ко­вую сто­ро­ну CD по­по­лам. От­ре­зок DN пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AM и делит сто­ро­ну АВ в от­но­ше­нии

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые ВМ и CN пер­пен­ди­ку­ляр­ны

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если пло­щадь тра­пе­ции равна

Бис­сек­три­са АМ остро­го угла А рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD делит бо­ко­вую сто­ро­ну CD по­по­лам. От­ре­зок DN пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AM и делит сто­ро­ну АВ в от­но­ше­нии

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые ВМ и CN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если пло­щадь тра­пе­ции равна

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC. Бис­сек­три­сы углов BAD и BCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Через точку O про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции и пе­ре­се­ка­ю­щая ее бо­ко­вые сто­ро­ны.

а)  До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка этой пря­мой с кон­ца­ми на бо­ко­вых сто­ро­нах тра­пе­ции, равна ее бо­ко­вой сто­ро­не.

6)  Най­ди­те от­но­ше­ние длин ос­но­ва­ний тра­пе­ции, если и дан­ная пря­мая делит AB в от­но­ше­нии

Дана рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD и BC. Бис­сек­три­сы углов BAD и BCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Через точку O про­ве­де­на пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям тра­пе­ции и пе­ре­се­ка­ю­щая ее бо­ко­вые сто­ро­ны.

а)  До­ка­жи­те, что длина от­рез­ка этой пря­мой с кон­ца­ми на бо­ко­вых сто­ро­нах тра­пе­ции, равна ее бо­ко­вой сто­ро­не.

6)  Най­ди­те от­но­ше­ние длин ос­но­ва­ний тра­пе­ции, если и дан­ная пря­мая делит AB в от­но­ше­нии

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­ны сто­ро­ны AB  =  4, AC  =  5 и На его сто­ро­не BC вне тре­уголь­ни­ка (точки A и D лежат в раз­ных по­лу­плос­ко­стях от­но­си­тель­но пря­мой BC) по­стро­им рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник BCD.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка ABDC можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра этой окруж­но­сти до точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка ABDC.

На сто­ро­нах AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки C₁ и B₁ со­от­вет­ствен­но. Ока­за­лось, что BC₁  =  CB₁  =  BC.

а)  До­ка­жи­те, что точки B, C и се­ре­ди­ны от­рез­ков BB₁ и CC₁ лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми BB₁ и CC₁, если BC  =  5, AB  =  12, AC  =  13.

На сто­ро­нах AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­ны точки C₁ и B₁ со­от­вет­ствен­но. Ока­за­лось, что BC₁  =  CB₁  =  BC.

а)  До­ка­жи­те, что точки B, C и се­ре­ди­ны от­рез­ков BB₁ и CC₁ лежат на одной окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми BB₁ и CC₁, если BC  =  8, AB  =  15, AC  =  17.

К окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат ABCD, про­ве­де­на ка­са­тель­ная, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и AD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка AMN равен сто­ро­не квад­ра­та.

б)  Пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую CD в точке P. В каком от­но­ше­нии делит сто­ро­ну BC пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P и центр окруж­но­сти, если AM : MB  =  1 : 3?

К окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат ABCD, про­ве­де­на ка­са­тель­ная, пе­ре­се­ка­ю­щая сто­ро­ны AB и AD в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка AMN равен сто­ро­не квад­ра­та.

б)  Пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет пря­мую CD в точке P. B каком от­но­ше­нии делит сто­ро­ну BC пря­мая, про­хо­дя­щая через точку P и центр окруж­но­сти, если

Сто­ро­ны AB и AD квад­ра­та ABCD ка­са­ют­ся окруж­но­сти, ра­ди­ус ко­то­рой втрое мень­ше сто­ро­ны квад­ра­та.

а)  До­ка­жи­те, что эта окруж­ность раз­би­ва­ет диа­го­наль BD на три рав­ных от­рез­ка.

б)  Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти, про­ведённая через точку B, пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну CD в точке E. Най­ди­те длину от­рез­ка DE, если сто­ро­на квад­ра­та равна 18.