Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что 
б) Найдите MN, если 
а радиус малой окружности равен 
а) Проведем общую касательную к обеим окружностям через точку K, тогда 
по теореме об угле между касательной и хордой. Аналогично 
значит, 
откуда следует, что хорды AB и MN параллельны. Следовательно, треугольники LAK и CMK и треугольники LBK и CNK подобны. Таким образом,
откуда 
Что и требовалось доказать.
б) Пусть точка H — середина хорды MN, тогда треугольник MON равнобедренный, а значит, отрезок OH перпендикулярен хорде MN. Пусть 
и 
тогда 
Точка O1 — центр малой окружности, значит, радиус O1C перпендикулярен хорде MN. Находим:
Из точки O проведем к отрезку отрезок CO1 перпендикуляр OR. Тогда 
откуда получаем уравнение:
Тем самым 
Ответ: б) 
Приведем решение пункта б) Натальи Лесниченко.
Отрезок AB — средняя линия треугольника KMN. Пусть BL = 2x, LA = 3x, тогда по свойству хорд 
откуда 
Положим CN = 4x, тогда по теореме о касательной и секущей: 
следовательно, 
В треугольнике NCK известны все стороны, применим теорему косинусов:
и потому 
Соединим точки О1 и L, тогда 
по теореме об угле между касательной и хордой. Значит,
Таким образом, 
Примечание.
Рекомендуем сравнить эту задачу с заданием 510102 из ЕГЭ 2015 года и заданием 517516 из ЕГЭ 2017 года.