Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L.
а) Докажите, что 
б) Найдите длину хорды MN, если 
a радиус меньшей окружности равен 
a) Пусть O — центр большей окружности. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому OK диаметр меньшей окружности.
Точка A лежит на окружности c диаметром OK, значит, 
Отрезок OA — перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду, поэтому A — середина KM. Аналогично B — середина KN. Тогда AB — средняя линия треугольника KMN. Значит, прямые AB и MN параллельны. Тогда
откуда
б) Радиус большей окружности равен 
В предыдущем пункте было доказано, что
Опустим перпендикуляр OH на хорду MN. Тогда H — середина MN. Положим 
Тогда
Из прямоугольного треугольника OHM находим, что
Пусть Q — центр меньшей окружности. Тогда прямые QC и OH параллельны. Опустим перпендикуляр OF из центра большей окружности на прямую QC. Тогда: 
и
По теореме Пифагора 
Составим и решим уравнение:
Следовательно, 
Ответ: б) 