Тип 18 № 648424 
Задача с параметром. Аналитическое решение уравнений и неравенств
i
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
выполняется для любых значений x.
Решение. Заметим, что
Тогда
Рассмотрим два случая. Если основание логарифма больше 1, то есть если
то
Для любых значений x верно неравенство 
поэтому исходное неравенство выполняется для любых значений x при выполнении условий
Если же основание логарифма больше 0, но меньше 1, то есть при
то
Для любых значений x верно двойное неравенство 
поэтому исходное неравенство выполняется для любых значений x, если
Объединяя результаты двух случаев, получаем, что исходное неравенство выполняется для любых значений x при 
или при 
Ответ: 
Это же решение можно записать несколько иначе (Виктор Кошелев).
Заметим, что 
Тогда:
Наименьшее значение функции 
равно −2, а наибольшее значение равно 2. Значит, в случае 
неравенство 
выполняется для любых значений x, если и только если 
В случае 
неравенство
выполняется для любых значений x, если и только если 
Окончательно получаем:
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ:
