Окружности с центрами O1 и O2 разных радиусов пересекаются в точках А и В. Хорда АС большей окружности пересекает меньшую окружность в точке М и делится этой точкой пополам.
а) Докажите, что проекция отрезка O1O2 на прямую AC в четыре раза меньше AC.
б) Найдите O1O2, если известно, что радиусы окружностей
а) Пусть O1H1 — перпендикуляр, проведенный к прямой AC из центра большей окружности, а O2H2 — перпендикуляр, проведенный к AC из центра меньшей окружности. Радиус, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Поэтому точка H2 — cередина AM, а точка M совпадает с точкой H1. Тогда
Что и требовалось доказать.
б) Проведем через O2 прямую, параллельную AC. Пусть эта прямая пересекает прямую O1H1 в точке F. Тогда четырехугольник H2O2FH1 — прямоугольник со стороной 
Находим:
Отсюда 
Ответ: б) 